Định nghĩa về số phức và các phép toán liên quan về số phức

Kiến thức của toán học vô cùng bao la rộng lớn với nhiều chuyên mục khác nhau.  Trong số đó, số phức có vai trò rất quan trọng trong toán học, nhất là với hình học phẳng và lượng giác. Kiến thức về số phức khá phức tạp nên học sinh rất dễ nhầm lẫn và không hiểu bài. Bài viết dưới đây của ReviewAZ sẽ giải đáp cho bạn các thông tin cần biết về số phức.

Số phức là gì?

Số phức là tổng của một số thực và một số ảo. Một số phức có dạng a + ib và thường được biểu diễn bằng z. Ở đây cả a và b đều là số thực. Giá trị 'a' được gọi là phần thực được ký hiệu là Re (z), và 'b' được gọi là phần ảo Im (z). Ngoài ra, ib được gọi là số ảo.

Một số ví dụ về số phức như 2 + 3i,  -2 -5i, ½ + i3/2,....

Số phức rất hữu ích trong việc tìm căn bậc hai của số âm. Khái niệm số phức lần đầu tiên được đề cập đến vào thế kỷ 1 bởi một nhà toán học người Hy Lạp, anh hùng của Alexandria khi ông cố gắng tìm căn bậc hai của một số âm. Nhưng anh ta chỉ đơn thuần thay đổi âm thành dương và chỉ đơn giản là lấy giá trị gốc số.

Người thực sự tìm ra số phức là nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano vào thế kỉ 16. Trong quá trình tìm kiếm căn nguyên âm của các biểu thức đa thức bậc hai và bậc hai, ông đã tìm được số phức.

Bảng chữ cái i được gọi là iota và rất hữu ích để biểu diễn phần ảo của số phức. Hơn nữa, iota (i) rất hữu ích để tìm căn bậc hai của số âm. Chúng ta có giá trị của i 2  = -1, và điều này được sử dụng để tìm giá trị của √-4 = √i 2 4 = + 2i Giá trị của i 2 = 1 là khía cạnh cơ bản của một số phức. Hãy để chúng tôi thử và hiểu thêm về sức mạnh ngày càng tăng của i.

i = √-1

i2 = -1

i3  = i.i2 = i(-1) = -i

i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1

i4n = 1

i4n + 1 = i

i4n + 2 = -1

i4n + 3 = -i

Có thể bạn quan tâm: Số nguyên tố là gì? Đặc trưng của số nguyên tố như thế nào?

Các phép toán trên số phức

Các phép toán cộng, trừ, nhân , chia khác nhau cũng có thể được thực hiện đối với số phức. Chi tiết về các phép toán số học khác nhau của số phức như sau.

Phép cộng các số phức

Phép cộng các số hoàn chỉnh tương tự như phép cộng các số tự nhiên. Ở đây trong số phức, phần thực được thêm vào phần thực và phần ảo được thêm vào phần ảo. Đối với hai số phức có dạng z1 = a + id và z2 = c + id, tổng các số là z1 + z2 = (a + c) + i(b + d). Các số phức tuân theo tất cả các tính chất sau của phép cộng:

- Định luật bám sát: Tổng của hai số phức cũng là một số phức. Đối với hai số phức z1 và z2, tổng của z1 + z2 cũng là một số phức.

- Luật giao hoán: Cho hai số phức z1, z2, chúng ta có z1 + z2= z2 + z1

- Luật liên kết: Cho ba số phức đã cho z1, z2, z3 chúng ta có z1 + (z2 +z3) = (z1 + z2) + z3

- Nhận dạng cộng: Đối với số phức z = a + ib, tồn tại 0 = 0 + i0, sao cho z + 0 = 0 + z = 0.

- Phép cộng nghịch đảo: Đối với số phức z = a + ib, tồn tại một số phức -z = -a -ib sao cho z + (-z) = (-z) + z = 0. Ở đây -z là phép cộng nghịch đảo .

Phép trừ các số phức

Phép trừ các số phức tuân theo một quy trình tương tự như phép trừ các số tự nhiên. Ở đây đối với hai số phức bất kỳ, phép trừ được thực hiện riêng biệt trên phần thực và sau đó phép trừ được thực hiện trên phần ảo. Đối với các số phức

z1 = a + ib, z2 = c +id, chúng ta có z1− z2 = (a - c) + i(b - d).

Phép nhân các số phức

Phép nhân các số phức hơi khác với phép nhân các số tự nhiên. Ở đây chúng ta cần sử dụng công thức i2 = −1. Đối với hai số phức z1 = a + ib, z2 = c + id, sản phẩm là z1.z2 = (ca - bd) + i(ad + bc).

Phép chia các số phức

Phép chia số phức sử dụng công thức nghịch đảo của một số phức. Đối với hai số phức z1 = a + ib, z2 = c + id, chúng ta có phép chia là

z1/z2 = (a + ib) x 1/(c + d) = (a + ib) x (c - di)/(c 2 + d 2).

Có thể bạn quan tâm: Số nguyên là gì? Trong toán học còn có những tập hợp số cơ bản nào?

Thuộc tính của một số phức

Các thuộc tính sau đây của số phức rất hữu ích để hiểu rõ hơn về số phức và cũng như để thực hiện các phép toán số học khác nhau trên số phức.

Liên hợp của một số phức

Liên hợp của số phức được hình thành bằng cách lấy cùng một phần thực của số phức và thay đổi phần ảo của số phức thành nghịch đảo cộng của nó. Nếu tổng và tích của hai số phức là số thực thì chúng được gọi là số phức liên hợp. Đối với một số phức z = a + ib, liên hợp của nó là ¯z = a - ib.

Các tổng của số phức tạp và liên hợp của nó là z + ¯z  = (a + ib) + (a - ib) = 2a, và tích của những số phức này là z.¯z= (a + ib) × (a - ib) = a 2  + b 2 .

Bình đẳng của số phức

Đẳng thức của số phức tương tự như đẳng thức của số thực. Hai số phức z1= a1 + ib1 và z2 = a2 + ib2 được cho là bằng nhau nếu phần thực của cả hai số phức đều bằng nhau a1 = a2 và phần ảo của cả hai số phức đều bằng nhau b1 = b2. Ngoài ra, hai số phức ở dạng cực bằng nhau, nếu và chỉ khi chúng có cùng độ lớn và đối số (góc) của chúng khác nhau bởi một bội số 2π.

Thứ tự các số phức

Không có thứ tự của các số phức. Số thực và các hệ thống số liên quan khác có thể được sắp xếp, nhưng không thể sắp xếp các số phức. Các số phức không có cấu trúc của một trường có thứ tự và không có thứ tự của các số phức tương thích với phép cộng và phép nhân.

Ngoài ra, tổng số bình phương không nhỏ trong một trường có thứ tự là một số ≠0, nhưng trong một số phức, tổng bình phương không nhỏ bằng i 2  + 1 2  = 0.

Các số phức có thể được đo và biểu diễn trong một mặt phẳng argrand hai chiều bằng độ lớn của chúng, đó là khoảng cách của nó từ gốc.

Trên đây là tất cả thông tin của chúng tôi về số phức. Các con số trong toán họ thực sự rất phức tạp và chúng tôi hy vọng bài viết này sẽ hỗ trợ cho bạn trong công việc học tập. Đừng quên theo dõi trang web của ReviewAZ để cùng chúng tôi khám phá nhiều kiến thức hơn nữa.

Có thể bạn quan tâm: Số chính phương là gì? Một số kiến thức cơ bản về số chính phương