Định nghĩa, tính chất và các công thức nguyên hàm bạn cần biết

Toán học luôn là một lĩnh vực vô cùng thú vị và cũng rất phức tạp, với nhiều công thức khác nhau. Một trong số những kiến thức toán đóng vai trò quan trọng nhất, đó chính là công thức nguyên hàm. Hệ thống nguyên hàm luôn khiến người học cảm thấy băn khoăn và khó hiểu. Vì thế, bài viết sau đây của ReviewAZ sẽ hỗ trợ bạn giải đáp các thắc mắc về định nghĩa, tính chất và công thức tính cụ thể. Hãy cùng tham khảo ngay nhé!

Định nghĩa nguyên hàm

Nguyên hàm là một vấn đề quan trọng trong bộ môn giải tích. Quá trình tìm kiếm nguyên hàm còn được gọi với cái tên khác là tích phân bất định. Bất kỳ hàm số liên tục nào nằm trên đoạn hoặc khoảng từ a tới b đều tồn tại nguyên hàm.

nguyen-ham-la-gi

Ta có định nghĩa cụ thể về công thức nguyên hàm như sau:

Bài toán cho một hàm số f xác định trên K. Hàm số F này sẽ được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K trong trường hợp F(x) khả thi trên K và đáp ứng được điều kiện: F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Toán học chứng minh được rằng mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Định lý và tính chất của nguyên hàm bạn cần biết

Bất kỳ công thức toán học nào đều tồn tại định lý và tính chất riêng. Điều này giúp cho người học dễ dàng áp dụng vào các bài toán thực tế, cũng như phân biệt giữa các công thức với nhau. Định lý và tính chất nguyên hàm được thể hiện như sau:

Định lý nguyên hàm

  • Định lý 1: Trong trường hợp F(x) đóng vai trò là một nguyên hàm của f(x) trên K, thì các hằng số C và hàm số G(x)= F(x)+ C sẽ là nguyên hàm của f(x) trên K
  • Định lý 2: Trong trường hợp F(x) là nguyên hàm của f(x) trên K, mọi nguyên hàm của F(x) trên K sẽ đều có dạng F(x)+C. Điều kiện cần và đủ là C là một hằng số

Tính chất nguyên hàm

Về mặt tính chất, nếu f(x) và g(x) đều là hai hàm số chạy liên tục trên K, ta sẽ có tính chất sau:

  • Tính chất 1: ∫f’(x)dx= f(x)+ C
  • Tính chất 2: ∫k.f(x)dx= k.∫f(x)dx trong điều kiện k là số thực khác 0
  • Tính chất 3: ∫[f(x) + hoặc - g(x0]dx= ∫f(x)dx + hoặc - ∫g(x)dx

Có thể bạn quan tâm: Cách tính diện tích hình thang giúp cho việc học tập trở nên thuận lợi

Công thức tính nguyên hàm đơn giản

Tính nguyên hàm luôn là một thách thức lớn đối với các bạn học sinh. Bởi để giải quyết một phép tính, bạn sẽ cần liên hệ rất nhiều kiến thức khác nhau một cách hệ thống và bài bản. Nếu muốn chinh phục bộ môn này dễ dàng hơn, hãy áp dụng các phương pháp dưới đây:

Phương pháp tính nguyên hàm

Có hai phương pháp tính nguyên hàm phổ biến nhất:

  • Cách 1: Phương pháp biến đổi biến số

Nếu ∫f(u)du= F(u) +C, u=u(x) và có đạo hàm chạy liên tục. Ta có cách tính: ∫f[u(x)].u’(x)dx= F[u(x)]+C

  • Cách 2: Phương pháp từng phần

Nếu hàm số u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm nằm trên K chạy liên tục, ta có

∫u(x).v’(x)dx= u(x).v(x)- ∫u’(x).v(x)dx

Hoặc: ∫u.dv= u.v- ∫v.du

Bảng công thức tính nguyên hàm

Việc sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm có vai trò vô cùng quan trọng. Nếu ghi nhớ được các công thức này, bạn sẽ dễ dàng chinh phục được mọi phép toán trong quá trình học hoặc đề thi.

  • Cơ bản

bang-nguyen-ham-co-ban

  • Mở rộng:

 

cong-thuc-mo-rong

  • Nâng cao

cong-thuc-nang-cao

Có thể bạn quan tâm: Cách tính chu vi hình tròn và các bài tập ví dụ về tính chu vi hình tròn

Cách chinh phục công thức nguyên hàm nhanh chóng nhất

Nguyên hàm nằm trong danh sách những vấn đề Toán học quan trọng, được ứng dụng thi cử thường xuyên. Việc học thuộc và áp dụng công thức cần rất nhiều chăm chỉ và nỗ lực. Thế nhưng không phải chỉ cần áp dụng công thức là ta có thể tìm ra biến số của nguyên hàm. Do đó, ngay từ hiện tại, bạn cần lên kế hoạch để chinh phục công thức nguyên hàm thật nhanh chóng và đơn giản nhất.

Các bước bạn nên áp dụng đó là:

  • Trang bị cho mình đầy đủ kiến thức về đạo hàm, vi phân, biết phân biệt đạo hàm sơ cấp, đạo hàm thứ cấp của hàm hợp
  • Không nhầm lẫn giữa các công thức hàm lượng giác khác nhau
  • Ghi nhớ thật kỹ bảng nguyên hàm
  • Luyện tập, ứng dụng giải quyết các bài toán theo từng cấp độ. Trước khi bắt tay vào giải, bạn cần xác định đây là hàm gì, có những ẩn số gì và phải giải quyết theo từng bước ra sao, áp dụng công thức nào
  • Ghi chép công thức và các ví dụ cụ thể
  • Bắt đầu với các bài toán đơn giản, sau đó tiến dần lên nâng cao để cải thiện trình độ

Chìa khóa vàng chinh phục nguyên hàm luôn là sự chăm chỉ, cẩn thận và tỉ mỉ. Vì thế, nếu bạn mong muốn sở hữu một số điểm cao môn Toán, hoặc vượt qua kỳ thi quan trọng, thì cần áp dụng đầy đủ các bước trên.

Vậy là chúng ta đã cùng tìm hiểu công thức nguyên hàm phổ biến nhất trong môn Toán. Nếu cảm thấy bài viết hữu ích, đừng quên theo dõi và cập nhật thêm nhiều thông tin từ ReviewAZ nhé!

Có thể bạn quan tâm: Cấp số nhân là gì? Định nghĩa, công thức và bài tập ứng dụng

Có thể bạn quan tâm!
1n bằng bao nhiêu kg? Bảng quy đổi theo chuẩn quốc tế là như thế nào?
1n bằng bao nhiêu kg? Bảng quy đổi theo chuẩn quốc tế là như thế nào?

Không phải ai trong số chúng ta dễ dàng phân biệt được rằng 1n được quy đổi như thế nào? Đây thực chất không phải là đơn vị quy chuẩn của người Việt Nam. Chính vì thế, để giúp bạn có thể thông thạo và hiểu rõ hơn về đại lượng này. Dưới đây, chúng tôi sẽ hướng dẫn cho bạn 1n bằng bao nhiêu kg.

Chính xác Chất lượng Khách quan

03 tiêu chính đánh giá mà ReviewAZ áp dụng