Cấp số nhân là gì? Định nghĩa, công thức và bài tập ứng dụng
Toán học là một môn học quan trọng và có mặt ở hầu hết các cấp học của chúng ta. Tuy nhiên do số lượng bài học quá nhiều nên đôi khi chúng ta lại quên đi những kiến thức cơ bản. Đặc biệt là những kiến thức ít áp dụng vào thực tiễn. Vậy trong bài viết hôm nay, chúng tôi sẽ nhắc lại một số thông tin liên quan đến cấp số nhân. Cùng tìm hiểu ngay nhé
Nội dung bài viết[Hiển thị]
Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân (CSN) là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn tuần hoàn. Trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi một số hạn đều bằng tích của số hạng đứng trước nó nhân cho một thừa số q không đổi. Và thừa số q này được gọi là công bội của dãy số
Nếu cho cấp số nhân với công bội q là (thì ta có công thức:
. Và đây được gọi là dãy số truy hồi
Ví dụ: Dãy số sau đây: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,... được gọi là một cấp số nhân với công bội q = 2.
Ta có: ,
Tiếp theo, với công bội q thuộc tập hợp số tự nhiên N, ta sẽ có 2 dãy cấp số nhân như sau
- Dãy số lùi vô hạn với
< 1
Ví dụ: dãy số 10, 5, ,
,... là dãy số lùi vô hạn với công bội q =
- Dãy số tăng vô hạn với
Ví dụ: dãy số 5, 10, 20, 40, 80, 160,... là dãy số tăng vô hạn với công bội q = 2
Có thể bạn quan tâm: Thừa số là gì? Làm sao để phân tích một số thành các thừa số nguyên tố
Tính chất của cấp số nhân
Dựa trên định nghĩa về CSN đã biết như trên, ta có thể suy ra được một số tính chất cơ bản với công thức như sau
- Công thức 1
Công thức này được hình thành dựa trên định nghĩa ban đầu.
Công thức số hạng tổng quát
Ví dụ: Cho CSN với các số hạng như sau: 2, 4, 8, 16, 32,...
Ta có:
Vậy
- Công thức 2
Tương tự với công thức 1, dựa trên định nghĩa ban đầu, ta có thể hình thành biểu thức tính công bội khi đã biết 2 số hạng liên tiếp
Công thức: q =
Ví dụ: cho dãy số với 2 số hạng liên tiếp lần lượt là và
. Vậy công bội q =
=
- Công thức 3
Với công thức này, chúng ta có thể biết được số hạng tổng quát thông qua số hạng đầu tiên và công bội của dãy số.
Công thức:
Ví dụ: Cho một CSN có số hạng đầu tiên là 10, công bội là 3. Vậy ta có số hạng tổng quát của dãy số được trình bày dưới dạng như sau:
- Công thức 4
Đây là công thức duy nhất trong tính chất của dãy số giúp ta có được mối liên hệ giữa 2 số hạng liền kề với nhau. Cụ thể là, bình phương của một số hạng sẽ bằng tích 2 số hạng liền trước và liền sau của số hạng đó
Công thức:
Ví dụ: Cho CSC với các số hạng trong dãy theo thứ tự là 3, 9, 27, 81,...
Ta có: Vậy
- Công thức 5
Với công thức này, chúng ta sẽ biết được biểu thức liên hệ giữa 2 số hạng bất kỳ trong dãy số thông qua công bội cho trước.
Công thức:
Ví dụ: Cho dãy số với số hạng thứ 5 là 100, công bội q=2. Vậy số hạng thứ 8 của dãy sẽ là
Có thể bạn quan tâm: MPa và Bar là gì? Tìm hiểu công thức 1 MPa = Bar
Một số dạng bài tập cơ bản về cấp số nhân
Sau khi đã nắm rõ những kiến thức cơ bản, bạn cần tìm hiểu qua một số dạng bài tập để dễ hiểu và dễ nhớ hơn những kiến thức ở trên. Về cơ bản, bạn cần nắm chắc 3 dạng bài như sau
Dạng 1: Tìm các thành phần của dãy số
Đây là dạng toán cơ bản và đơn giản nhất của phần kiến thức này. Chúng ta chỉ áp dụng nguyên mẫu các công thức cho sẵn là được
- Bước 1: tóm tắt những giả thiết đã có của đề
- Bước 2: chọn công thức thích hợp nhất và thế số vào
Ví dụ: Tìm các số hạng của CSN biết
Cách giải:
Ta có: 243=1.
q=3
Vậy CSN là 1, 3, 9, 27, 81, 243
Dạng 2: chứng minh tính chất của CSN
Với dạng toán này, bạn chỉ cần nắm rõ 5 công thức cơ bản ở phía trên, từ đó thay số vào và tính toán là được. Và các thao tác chứng minh được tóm tắt qua 2 bước sau
- Bước 1: từ giả thiết đề cho, lập thành một dãy số theo công thức
- Bước 2: dựa trên công thức vừa thành lập, chứng minh tính chất đề yêu cầu
Ví dụ: Cho CSN (. Chứng minh rằng
Cách giải
Vế trái: VT = (1)
Vế phải: VP = (2)
Từ (1) và (2) suy ra VT = VP
Dạng 3: Tìm dãy số có tham số cho trước
Đề bài thường sẽ cho sẵn 3 số hạng có đi kèm tham số chưa biết trước. Và chúng ta cần dựa trên tính chất liên hệ giữa 3 số hạng này để lập thành một dãy số hoàn chỉnh
- Bước 1: Viết 3 số đã cho dưới dạng tham số về dạng biểu thức
- Bước 2: giải phương trình tham số vừa lập được và tìm được ẩn
Ví dụ: Tìm m để 3 số hạng sau đây lập thành một cấp số nhân m-2, m-4, m+2
Cách giải
Theo công thức 4, ta có 8m = 20
m = 2,5
Vậy CSN đã cho là 0,5; -1,5; 4,5
Vậy là ReviewAZ vừa giới thiệu cho bạn một số kiến thức cơ bản về cấp số nhân. Đây là những kiến thức không quá khó, tuy nhiên lại rất quan trọng trong công việc học tập của mỗi chúng ta. Vì vậy hãy tham khảo và ôn luyện thật kỹ để bổ sung cho kho tàng kiến thức của mình nhé
Có thể bạn quan tâm: Lũy kế là gì? Giải đáp tất tần tật thông tin về lũy kế
TBA là gì? Ý nghĩa của TBA trong nhiều lĩnh vực khác nhau
Các mặt trong cuộc sống được phân chia thành nhiều lĩnh vực khác nhau. Ở mỗi lĩnh vực lại có những thuật ngữ đại diện mang ý nghĩa riêng biệt. Tuy vậy, TBA là chữ viết tắt xuất hiện thường xuyên trong rất nhiều lĩnh vực. Vậy TBA là gì và có ý nghĩa cụ thể như thế nào?
GRDP là gì? Phương pháp tính giá trị GRDP theo nhiều góc độ
Trong lĩnh vực kinh tế, GRDP là một thuật ngữ được sử dụng rất nhiều dưới hình thức các báo cáo tài chính. Nó đem lại ý nghĩa tượng trưng cho tình hình tăng trưởng kinh tế của một tỉnh. Vậy GRDP là gì? Cách tính GRDP như thế nào?
UAE là gì? Những điều thú vị về đất nước UAE
Nơi đây ngoài có nền kinh tế phát triển còn nổi tiếng với nền văn hóa. Vậy bạn đã biết UAE là gì chưa? Hãy ReviewAZ tìm hiểu thêm về UAE trong bài viết nhé
Tìm hiểu khái niệm, dấu hiệu nhận biết và cách tính diện tích hình bình hành
Hình bình hành là một kiến thức hình học quan trọng được đưa vào giảng dạy trong toán lớp 6. Bài viết sau đây sẽ giúp các bạn ôn lại các kiến thức quan trọng này
Tháp nhu cầu Maslow và ứng dụng trong cuộc sống
Con người có rất nhiều loại nhu cầu khác nhau đối với cuộc sống. Theo đó, nhà khoa học Abraham Maslow đã tạo nên tháp nhu cầu Maslow để nói lên các cấp bậc
Giải nghĩa về câu gián tiếp trong tiếng anh và cách sử dụng chúng
Câu gián tiếp là loại câu làm nhiều người gặp khó khăn hơn khi sử dụng trong tiếng anh. Để hiểu về loại câu này, hãy theo dõi bài viết dưới đây của ReviewAZ