Cấp số nhân là gì? Định nghĩa, công thức và bài tập ứng dụng
Toán học là một môn học quan trọng và có mặt ở hầu hết các cấp học của chúng ta. Tuy nhiên do số lượng bài học quá nhiều nên đôi khi chúng ta lại quên đi những kiến thức cơ bản. Đặc biệt là những kiến thức ít áp dụng vào thực tiễn. Vậy trong bài viết hôm nay, chúng tôi sẽ nhắc lại một số thông tin liên quan đến cấp số nhân. Cùng tìm hiểu ngay nhé
Nội dung bài viết[Hiển thị]
Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân (CSN) là một dãy số vô hạn hoặc hữu hạn tuần hoàn. Trong đó, kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi một số hạn đều bằng tích của số hạng đứng trước nó nhân cho một thừa số q không đổi. Và thừa số q này được gọi là công bội của dãy số
Nếu cho cấp số nhân với công bội q là (thì ta có công thức:
. Và đây được gọi là dãy số truy hồi
Ví dụ: Dãy số sau đây: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192,... được gọi là một cấp số nhân với công bội q = 2.
Ta có: ,
Tiếp theo, với công bội q thuộc tập hợp số tự nhiên N, ta sẽ có 2 dãy cấp số nhân như sau
- Dãy số lùi vô hạn với
< 1
Ví dụ: dãy số 10, 5, ,
,... là dãy số lùi vô hạn với công bội q =
- Dãy số tăng vô hạn với
Ví dụ: dãy số 5, 10, 20, 40, 80, 160,... là dãy số tăng vô hạn với công bội q = 2
Có thể bạn quan tâm: Thừa số là gì? Làm sao để phân tích một số thành các thừa số nguyên tố
Tính chất của cấp số nhân
Dựa trên định nghĩa về CSN đã biết như trên, ta có thể suy ra được một số tính chất cơ bản với công thức như sau
- Công thức 1
Công thức này được hình thành dựa trên định nghĩa ban đầu.
Công thức số hạng tổng quát
Ví dụ: Cho CSN với các số hạng như sau: 2, 4, 8, 16, 32,...
Ta có:
Vậy
- Công thức 2
Tương tự với công thức 1, dựa trên định nghĩa ban đầu, ta có thể hình thành biểu thức tính công bội khi đã biết 2 số hạng liên tiếp
Công thức: q =
Ví dụ: cho dãy số với 2 số hạng liên tiếp lần lượt là và
. Vậy công bội q =
=
- Công thức 3
Với công thức này, chúng ta có thể biết được số hạng tổng quát thông qua số hạng đầu tiên và công bội của dãy số.
Công thức:
Ví dụ: Cho một CSN có số hạng đầu tiên là 10, công bội là 3. Vậy ta có số hạng tổng quát của dãy số được trình bày dưới dạng như sau:
- Công thức 4
Đây là công thức duy nhất trong tính chất của dãy số giúp ta có được mối liên hệ giữa 2 số hạng liền kề với nhau. Cụ thể là, bình phương của một số hạng sẽ bằng tích 2 số hạng liền trước và liền sau của số hạng đó
Công thức:
Ví dụ: Cho CSC với các số hạng trong dãy theo thứ tự là 3, 9, 27, 81,...
Ta có: Vậy
- Công thức 5
Với công thức này, chúng ta sẽ biết được biểu thức liên hệ giữa 2 số hạng bất kỳ trong dãy số thông qua công bội cho trước.
Công thức:
Ví dụ: Cho dãy số với số hạng thứ 5 là 100, công bội q=2. Vậy số hạng thứ 8 của dãy sẽ là
Có thể bạn quan tâm: MPa và Bar là gì? Tìm hiểu công thức 1 MPa = Bar
Một số dạng bài tập cơ bản về cấp số nhân
Sau khi đã nắm rõ những kiến thức cơ bản, bạn cần tìm hiểu qua một số dạng bài tập để dễ hiểu và dễ nhớ hơn những kiến thức ở trên. Về cơ bản, bạn cần nắm chắc 3 dạng bài như sau
Dạng 1: Tìm các thành phần của dãy số
Đây là dạng toán cơ bản và đơn giản nhất của phần kiến thức này. Chúng ta chỉ áp dụng nguyên mẫu các công thức cho sẵn là được
- Bước 1: tóm tắt những giả thiết đã có của đề
- Bước 2: chọn công thức thích hợp nhất và thế số vào
Ví dụ: Tìm các số hạng của CSN biết
Cách giải:
Ta có: 243=1.
q=3
Vậy CSN là 1, 3, 9, 27, 81, 243
Dạng 2: chứng minh tính chất của CSN
Với dạng toán này, bạn chỉ cần nắm rõ 5 công thức cơ bản ở phía trên, từ đó thay số vào và tính toán là được. Và các thao tác chứng minh được tóm tắt qua 2 bước sau
- Bước 1: từ giả thiết đề cho, lập thành một dãy số theo công thức
- Bước 2: dựa trên công thức vừa thành lập, chứng minh tính chất đề yêu cầu
Ví dụ: Cho CSN (. Chứng minh rằng
Cách giải
Vế trái: VT = (1)
Vế phải: VP = (2)
Từ (1) và (2) suy ra VT = VP
Dạng 3: Tìm dãy số có tham số cho trước
Đề bài thường sẽ cho sẵn 3 số hạng có đi kèm tham số chưa biết trước. Và chúng ta cần dựa trên tính chất liên hệ giữa 3 số hạng này để lập thành một dãy số hoàn chỉnh
- Bước 1: Viết 3 số đã cho dưới dạng tham số về dạng biểu thức
- Bước 2: giải phương trình tham số vừa lập được và tìm được ẩn
Ví dụ: Tìm m để 3 số hạng sau đây lập thành một cấp số nhân m-2, m-4, m+2
Cách giải
Theo công thức 4, ta có 8m = 20
m = 2,5
Vậy CSN đã cho là 0,5; -1,5; 4,5
Vậy là ReviewAZ vừa giới thiệu cho bạn một số kiến thức cơ bản về cấp số nhân. Đây là những kiến thức không quá khó, tuy nhiên lại rất quan trọng trong công việc học tập của mỗi chúng ta. Vì vậy hãy tham khảo và ôn luyện thật kỹ để bổ sung cho kho tàng kiến thức của mình nhé
Có thể bạn quan tâm: Lũy kế là gì? Giải đáp tất tần tật thông tin về lũy kế
Thẻ ghi nợ là gì? Lợi ích của thẻ ghi nợ như thế nào?
Thẻ ghi nợ là loại thẻ được sử dụng rất nhiều để thanh toán hầu hết các mặt hàng hiện nay.Trong bài viết này hãy cùng chúng tôi tìm hiểu thẻ ghi nợ là gì?
Hạch sữa là gì? Cách khắc phục tình trạng này ra sao?
Bài viết ngày hôm nay sẽ giải thích cho các bạn hạch sữa là gì? Có những biện pháp nào để hạn chế vấn đề này không? Mời bạn đọc tham khảo nhé.
Casting là gì? Những kinh nghiệm casting mà bạn nên biết
Trong quá trình học tập, làm việc cũng như giao tiếp tiếng anh có thể bạn đã bắt gặp từ casting. Vậy bạn đã biết hết ý nghĩa casting là gì chưa?
Chia sẻ hay chia sẽ? Cách viết nào mới đúng chuẩn chính tả tiếng Việt?
“Chia sẻ” hay “chia sẻ” cách viết nào đúng chính tả? Nhiều người hiện nay đang khá phân vân về việc sử dụng 2 cụm từ này thế nào để chuẩn nhất. Nhất là khi từ ngữ Việt Nam khá phong phú.
Một số thông tin cần biết về gia tốc hướng tâm
Bài viết ngày hôm nay chúng tôi sẽ giới thiệu một số thông tin liên quan đến gia tốc hướng tâm. Khái niệm này được hiểu như thế nào, có thể ứng dụng không?
Giải đáp thắc mắc Concern là gì? Có những giới từ nào đi kèm concern?
Trong tiếng anh Concern xuất hiện với nhiều nghĩa khác nhau. Bên cạnh đó cách phát âm cấu trúc trong mỗi hoàn cảnh cũng khác. Vậy nên hiểu cocern là gì?